Global Positioning System-Globalni pozicijski sustav

Global Positioning System (GPS, dosl. Globalni pozicijski sustav), američki svemirski globalni navigacijski satelitski sustav. Omogućuje pouzdano pozicioniranje, navigaciju i vremenske usluge korisnicima širom svijeta na kontinuiranoj osnovi u svim vremenskim uvjetima, danju i noću, svugdje na Zemlji ili blizu nje, ondje gdje postoji neometan kontakt s četirima ili više satelita GPS-a.

GPS se sastoji od triju segmenata: svemirskog, kontrolnog i korisničkog. Svemirski segment sastoji se od 24 do 32 satelita u srednjoj Zemljinoj orbiti, a također uključuje potisnike potrebne za njihovo lansiranje u orbitu. Kontrolni segment sastoji se od glavne kontrolne stanice (engl. Master Control Station), alternativne glavne kontrolne stanice (engl. Alternate Master Control Station) i baze dodijeljenih i zajedničkih zemaljskih antena i monitornih stanica. Korisnički segment sastoji se od stotina tisuća američkih i savezničkih vojnih korisnika sigurne usluge preciznog pozicioniranja GPS-a (engl. GPS Precise Positioning Service), te desetke milijuna civilnih, komercijalnih i znanstvenih korisnika usluge standardnog pozicioniranja (engl. Standard Positioning Service) (vidi navigacijski uređaji GPS-a). Sateliti GPS-a emitiraju signale iz svemira koje GPS prijamnici koriste za prikazivanje trodimenzionalne lokacije (latitude, longitude i altitude) i preciznog vremena.

GPS je postao široko korištena pomoć u navigaciji širom svijeta i koristan alat za izradu karata, zemljišnu izmjeru, trgovinu, znanstvene svrhe, praćenje i nadzor te hobije kao što su geocaching i waymarking. Osim navedenog precizna vremenska referencija koristi se u mnogim primjenama uključujući znanstvena istraživanja potresa te kao vremenski sinkronizacijski izvor za protokole mobitelnih mreža.

GPS je postao glavno uporište transportnih sustava širom svijeta, osiguravajući navigaciju za avijaciju, kopnene i pomorske operacije. Pomoć u katastrofama i usluge hitnih službi ovise o GPS-u u smislu lokacijskih i vremenskih mogućnosti nužno potrebnih u njihovim misijama spašavanja života. Precizno vrijeme koje pruža GPS olakšava svakodnevne aktivnosti poput bankarstva, funkcioniranja mobilnih telefona pa čak i nadzor nad električnom mrežom. Poljoprivrednici, geodeti, geolozi i nepregledno mnoštvo drugih stručnjaka obavljaju svoj posao učinkovitije, sigurnije, ekonomičnije i preciznije koristeći besplatne i dostupne signale GPS-a.


Povijest[uredi VE | uredi]
Dizajn GPS-a temelji se uglavnom na sličnim zemaljskim radijskim navigacijskim sustavima kao što su LORAN i Decca Navigator koji su razvijeni u ranim 1940-ima i korišteni tijekom Drugog svjetskog rata. Godine 1956. Friedwardt Winterberg[1] predložio je test opće relativnosti uporabom preciznih atomskih satova postavljenih u orbitu u umjetne satelite. Kako bi postigao zahtjeve o preciznosti, GPS koristi principe opće relativnosti radi ispravka satelitskih atomskih satova. Dodatna inspiracija za GPS došla je kada je Sovjetski Savez lansirao prvi umjetni satelit Sputnik 1957. godine. Tim američkih stručnjaka predvođen dr. Richardom B. Kershnerom bilježili su Sputnikove radijske transmisije. Pritom su otkrili da je zbog Dopplerova efekta frekvencija signala transmitiranog sa Spuntika bila viša kada se satelit približavao njima, a niža kada se satelit od njih udaljavao. Shvatili su da pošto znaju svoju točnu lokaciju na globusu mogu predvidjeti točku gdje se satelit nalazi duž svoje orbite mjerenjem Dopplerove distorzije (vidi Transit (satelit)).

Prvi satelitski navigacijski sustav Transit koji je koristila Ratna mornarica SAD-a uspješno je testiran 1960. godine. Koristio je konstelaciju od pet satelita, a mogao je osigurati navigacijski fiks približno jedanput na sat. Ratna mornarica SAD-a razvila je 1967. godine satelit Timation koji je dokazao mogućnost smještaja preciznih satova u svemiru na čemu se temelji tehnologija GPS-a. Tijekom 1970-ih zemaljski navigacijski sustav Omega (engl. Omega Navigation System), zasnovan na usporedbi faze transmisije signala s parova stanica[2], postao je prvi svjetski radijski navigacijski sustav. Ograničenja ovih sustava ipak su dovela do potrebe za univerzalnijim navigacijskim rješenjem s većom preciznošću.

Iako su velike potrebe postojale za preciznu navigaciju u vojnom i civilnom sektoru, niti jedna od njih nije bila smatrana opravdanjem za utrošak milijarda dolara u istraživanje, razvoj, implementaciju i funkcioniranje kompleksne konstelacije navigacijskih satelita. Ipak tijekom hladnoratovske utrke u naoružanju nuklearna prijetnja samom postojanju Sjedinjenih Država bila je upravo ona potreba koja je u očima Kongresa SAD-a opravdavala ovaj trošak. Stoga je ovaj učinak odvraćanja razlog zašto se krenulo s financiranjem razvoja GPS-a. Nuklearna trijada sastojala se podmorničkih balističkih projektila (SLBM, engl. Submarine Launched Ballistic Missile) američke ratne mornarice zajedno sa strateškim bombarderima američkog ratnog zrakoplovstva i interkontinentalnim balističkim projektilima (ICBM, engl. Intercontinental Ballistic Missile). Smatrana vitalnom za stav nuklearnog odvraćanja, precizna determinacija lansirnih pozicija za SLBM-e bila je multiplikator sile. Precizna navigacija omogućila bi američkim podmornicama dobivanje preciznog fiksa njihovih pozicija prije lansiranja vlastitih SLBM-ova. Američko ratno zrakoplovstvo s dvije trećine nuklearne trijade također je imalo zahtjeve za preciznijim i pouzdanijim navigacijskim sustavom. Ratna mornarica i zrakoplovstvo paralelno su razvijale vlastite tehnologije da riješe ono što je zapravo bio isti problem. Radi povećanja sposobnosti preživljenja ICBM-a predložena je uporaba mobilnih lansirnih platformi pa je potreba za fiksiranjem lansirnih pozicija nalikovala situaciji sa SLBM-om[3]. Godine 1960. ratno zrakoplovstvo predložilo je radionavigacijski sustav nazvan MOSAIC (Mobile System for Accurate ICBM Control, hrv. Mobilni sustav za preciznu kontrolu ICBM-a) koji je zapravo bio 3-D LORAN. Sljedeća studija nazvana Projekt 57 izvršena je 1963. i upravo je "u ovoj studiji rođen koncept GPS-a"[4]. Iste godine koncept pokrenut je Projekt 621B koji je imao "mnoge atribute koji se danas mogu vidjeti u GPS-u" i koji je obećana preciznost bombarderima ratnog zrakoplovstva te ICBM-ima. Izmjene u mornaričkom sustavu Transit bile su prespore za velike brzine u kojima je djelovalo ratno zrakoplovstvo. Mornarički istraživački laboratorij nastavio je poboljšanja sa svojim satelitima Timation (Time Navigation) koji su prvi lansirani 1967. dok je treći nosio 1974. godine prvi atomski sat postavljen u orbitu[5].

S ovim paralelnim razvojima iz 1960-ih zaključeno je kako se može razviti superioran sustav sintetiziranjem najboljih tehnologija iz 612B, Transita, Timationa i SECOR-a u jedan multiservisni program. Tijekom vikenda za praznik rada 1973. održao se sastanak od oko 12 vojnih časnika u Pentagonu koji su raspravljali o stvaranju DNSS-a (Defense Navigation Satellite System, hrv. Obrambeni navigacijski satelitski sustav). Upravo je na ovom sastanku "stvorena stvarna sinteza koja se razvila u GPS". Kasnije te godine program DNSS nazvan je Navstar. Budući da su pojedini sateliti bili pridruženi imenu Navstar (kao što je bio slučaj s prethodnicima Transitom i Timationom), počeo se koristiti sveobuhvatni naziv za identifikaciju konstelacije Navstarovih satelita. Ovaj potpuniji naziv bio je Navstar-GPS koji je poslije skraćen jednostavno u GPS[6].

Nakon što je let 007 Korean Air Linesa oboren 1983. zbog ulaska u zabranjeni zračni prostor SSSR-a[7], predsjednik Ronald Reagan objavio je direktivu kojom je GPS učinio slobodno dostupnim za civilnu uporabu kao opće dobro[8]. Prvi satelit bio je lansiran 1989. godine, a 24. i posljednji 1994. godine.

U početku je signal najviše kvalitete bio rezerviran za vojnu uporabu, dok je signal dostupan civilnoj uporabi bio namjerno degradiran ("selektivno dostupan", SA prema engl. Selective Availability). To se promijenilo 2000. godine kada je predsjednik Bill Clinton naredio da se selektivna dostupnost (SA) ugasi u ponoć 1. svibnja 2000. čime se poboljšala preciznost civilnog GPS-a s oko 300 m na oko 20 m.

Kronologija i modernizacija[uredi VE | uredi]
Sažetak satelita[9]
Blok Period
lansiranja Satelitna lansiranja Trenutačno u orbiti
i funkciji
Usp-
ješna Neusp-
ješna U pri-
premi Plani-
rana
I 1978.–1985. 10 1 0 0 0
II 1989.–1990. 9 0 0 0 0
IIA 1990.–1997. 19 0 0 0 11 od 19 lansiranih
IIR 1997.–2004. 12 1 0 0 12 od 13 lansiranih
IIR-M 2005.–2009. 8 0 0 0 7 od 8 lansiranih
IIF 2010.–2011. 0 0 10 0 0
IIIA 2014.–? 0 0 0 12 0
IIIB  0 0 0 8 0
IIIC  0 0 0 16 0
Ukupno 58 2 10 36 30
(Posljednja izmjena: 29. prosinca 2009.)
PRN 01 iz bloka IIR-M je pokvaren
PRN 25 iz bloka IIA je pokvaren
Vidi almanah GPS-a. Za potpuniji popis vidi popis lansiranja satelita GPS-a
1972. - Centralno postrojenje za testiranje inercijalnog vođenja (Holloman AFB) Ratnog zrakoplovstva SAD-a provelo je razvojne testove letenja dvaju prototipova prijamnika GPS-a iznad White Sands Missile Rangea koristeći zemaljske pseudosatelite.
1978. - lansiran prvi eksperimentalni satelit GPS-a iz bloka I.
1983. - nakon što je sovjetski presretački lovac oborio civilni linijski putnički avion KAL 007 koji je zalutao u zabranjeni zračni prostor zbog navigacijskih pogrešaka, te je pritom poginulo svih 269 putnika, američki predsjednik Ronald Reagan objavljuje da će GPS postati dostupan za civilnu uporabu nakon što bude dovršen[10][11].
do 1985. - lansirano dodatnih deset eksperimentalnih satelita iz bloka I radi procjene koncepta.
14. veljače 1989. - lansiran prvi moderni satelit iz bloka II.
1992. - deaktiviran 2nd Space Wing koji je izvorno upravljao sustavom; zamijenio ga 50th Space Wing.
do prosinca 1993. - GPS postiže inicijalnu operacijsku sposobnost[12].
do 17. siječnja 1994. - kompletna konstelacija od 24 satelita u orbiti.
travanj 1995. - NAVSTAR objavljuje punu operacijsku sposobnost.
1996. - prepoznavši važnost GPS-a za civilne korisnike jednako kao i za vojne, američki predsjednik Bill Clinton objavljuje političku direktivu[13] kojom se GPS deklarira kao sustav dvostruke uporabe; osniva se Međuagencijsko izvršno vijeće za GPS (engl. Interagency GPS Executive Board) radi upravljanja GPS-om na nacionalnoj razini.
1998. - američki potpredsjednik Al Gore objavljuje planove nadogradnje GPS-a s dva nova civilna signala radi poboljšane korisničke preciznosti i pouzdanosti, posebice u odnosu na avijacijsku sigurnost a 2000. američki Kongres potvrđuje potporu koju naziva GPS III.
1998. - tehnologija GPS-a uvedena je u u Kuću slavnih svemirske tehnologije Svemirske fundacije
2. svibnja 2000. - prekinuta "selektivna dostupnost" kao rezultat izvršne odluke iz 1996. čime je korisnicima omogućen prijam nedegradiranog signala u cijelom svijetu.
2004. - vlada SAD-a potpisuje ugovor s Europskom zajednicom kojim se uspostavlja suradnja GPS-a i europskog planiranog sustava Galileo.
2004. - američki predsjednik George W. Bush obnavlja nacionalnu politiku i zamjenjuje izvršno vijeće Nacionalnim izvršnim odborom za svemirsko pozicioniranje, navigaciju i mjerenje vremena (engl. National Executive Committee for Space-Based Positioning, Navigation, and Timing)
studeni 2004. - QUALCOMM objavljuje uspješne testove asistiranog GPS-a za mobilne telefone[14].
2005. - lansiran prvi modernizirani GPS satelit koji započinje transmitirati drugi civilni signal (L2C) za naprednu korisničku izvedivost.
14. rujna 2007. - zastarjeli Zemaljski segmentni kontrolni sustav (engl. Ground Segment Control System) baziran na računalu velikih mogućnosti prenesen je u novi Plan evolucije arhitekture (engl. Architecture Evolution Plan)[15].
17. kolovoza 2009. - posljednje lansiranje[16]. Najstariji operativni GPS satelit lansiran je 26. studenog 1990. a funkcionalnim je postao 10. prosinca 1990.[17]
19. svibnja 2009. - Ured za odgovornost Vlade SAD-a objavljuje izvješće kojim se upozorava kako bi neki GPS sateliti mogli zakazati 2010.[18]
21. svibnja 2009. - Zapovjedništvo za svemir Ratnog zrakoplovstva SAD-a smiruje strahove o zakazivanju sustava GPS-a izjavom kako "postoji samo malen rizik od toga da nećemo prekoračiti naše standarde izvedivosti."[19]
Osnovni koncepti GPS-a[uredi VE | uredi]
GPS prijamnik izračunava svoju poziciju tako što precizno mjeri vrijeme signala koje šalju sateliti GPS-a visoko iznad Zemlje. Svaki satelit kontinuirano transmitira poruke koje sadrže

vrijeme transmisije poruke
preciznu orbitalnu informaciju (efemeridu)
stanje općeg sustava i grube orbite svih satelita GPS-a (almanah).
Prijamnik determinira razlike u vremenu potrebnom za primanje poruka. Iz ovih razlika on determinira razlike u udaljenosti do svakog satelita. Ove se razlike udaljenosti zajedno sa satelitnim lokacijama koriste geometrijskom trilateracijom za izračun pozicije prijamnika. Pozicija se zatim prikazuje na zaslonu, a moguć je prikaz i pokretne karte ili latitude i longitude; informacija o elevaciji može biti također uključena. Mnoge GPS jedinice također prikazuju izvedene informacije poput smjera i brzine izračunatih iz pozicijskih promjena.

Čini se kako su tri satelita dovoljna za određivanje pozicije, budući da prostor ima tri dimenzije pa se pozicija na Zemljinoj površini može pretpostaviti. No čak i vrlo mala pogreška sata pomnožena s vrlo velikim brzinom svjetlosti[20] – brzinom kojom se satelitski signali šire – rezultira u velikoj pozicijskoj pogrešci. Stoga prijamnici koriste četiri ili više satelita za određivanje svoje lokacije i vremena. Vrlo precizno izračunato vrijeme učinkovito je skriveno u većini primjena GPS-a kod kojih se koristi samo lokacija. Nekoliko specijaliziranih primjena GPS-a ipak koriste vrijeme, a među njih spadaju vremenski transfer, sinkronizacija prometnih signala i sinkronizacija baznih stanica za mobilne telefone.

Iako su za normalnu operaciju potrebna četiri satelita, u posebnim slučajevima može ih biti i manje. Ako je jedna varijabla već poznata, prijamnik može determinirati svoju poziciju koristeći samo tri satelita. (Primjerice, brod ili avion mogu znati elevaciju). Neki GPS prijamnici mogu koristiti dodatne tragove ili pretpostavke (poput ponovne uporabe posljednje poznate altitude, navigacije po procjeni, inercijalne navigacije ili uključivanja informacije iz putnog računala) radi prikazivanja degradirane pozicije kada je vidljivo manje od 4 satelita (vidi [21], Poglavlja 7 i 8, [22] i [23]).

Uvod u izračun pozicije[uredi VE | uredi]
Zbog prikaza uvodnog opisa kako GPS prijamnik radi, pogreške mjerenja bit će zanemarene u ovom poglavlju. Koristeći poruke primljene s najmanje četiriju vidljivih satelita, GPS prijamnik može determinirati vrijeme slanja a zatim i satelitske pozicije koje odgovaraju pojedinim vremenima slanja. Komponente pozicije x, y i z te vrijeme slanja naznačene su kao {\displaystyle \scriptstyle \left[x_{i},\,y_{i},\,z_{i},\,t_{i}\right]} {\displaystyle \scriptstyle \left[x_{i},\,y_{i},\,z_{i},\,t_{i}\right]} gdje je indeks i označava broj satelita i poprima vrijednost 1, 2, 3 ili 4. Poznavajući indicirano vrijeme primitka poruke {\displaystyle \scriptstyle \ tr} {\displaystyle \scriptstyle \ tr}, GPS prijamnik može izračunati indicirano tranzitno vrijeme poruke kao {\displaystyle \scriptstyle \left(tr-t_{i}\right)} {\displaystyle \scriptstyle \left(tr-t_{i}\right)}. Uz pretpostavku da je poruka putovala brzinom svjetlosti c, prijeđena udaljenost {\displaystyle \scriptstyle p_{i}} {\displaystyle \scriptstyle p_{i}} može se izračunati kao {\displaystyle \scriptstyle \left(tr-t_{i}\right)c} {\displaystyle \scriptstyle \left(tr-t_{i}\right)c}.

Pozicija satelita i udaljenost do prijamnika definiraju sferičnu površinu čiji centar predstavlja satelit. Pozicija prijamnika je negdje na toj površini. Stoga se s četirima satelitima indicirana pozicija GPS prijamnika nalazi u sjecištu površina četiriju sfera ili pored tog sjecišta. (U idealnom slučaju bez pogrešaka GPS prijamnik nalazio bi se u sjecištu četiriju površina).

Ako se površine dviju sfera sijeku u više od jedne točke, onda se one sijeku u kružnici. Članak o trilateraciji prikazuje ovo matematički. Slika na kojoj se površine dviju sfera sijeku u krugu prikazana je ispod.


Presjek površina dviju sfera čini kružnicu
Sjecište treće sferične površine s prve dvije dat će presjek te kružnice, a u većini slučajeva u praksi, to znači da se sijeku u dvije točke[24]. Druga slika na kojoj je prikazano kako površina sfera siječe kružnicu (ne disk) u dvije točke ilustrira navedena sjecišta. Dva sjecišta označena su točkama. Članak o trilateraciji opet jasno pokazuje ovo matematički.


Površina sfera siječe kružnicu (ne disk) u dvije točke
Ispravna pozicija GPS prijamnika za automobile i ostala prizemna vozila jest sjecište koje se nalazi najbliže površini Zemlje. Za svemirska vozila ispravno sjecište može biti ono koje je najudaljenije od Zemlje[25].

Točna pozicija GPS prijamnika također je sjecište koje se nalazi najbliže površini sfere koja odgovara četvrtom satelitu.

Ispravljanje sata GPS prijamnika[uredi VE | uredi]
Metoda kalkulacije pozicije u slučaju bez pogrešaka već je objašnjena. Jedan od najznačajnijih izvora pogrešaka jest sat GPS prijamnika. Procijenjene udaljenosti od GPS prijamnika do satelitâ ili pseudorasponi zbog vrlo velike vrijednosti brzine svjetlosti c vrlo su osjetljivi na pogreške satova GPS prijamnika. To nalaže nužno korištenje ekstremno preciznih i skupih satova radi funkcioniranja GPS prijamnika. Proizvođači u drugu ruku preferiraju izradu jeftinih GPS prijamnika za masovna tržišta. Rješenje ove dileme bazira se na načinu kako se sferne površine sijeku u problemu GPS-a.


Dijagram prikazuje četvrti satelit, sferu, p4, d4 i da
Vrlo je vjerojatno da će se površine triju sfera sjeći jer je kružnica presjeka prvih dviju sfera normalno poprilična velika pa će stoga površina treće sfere vrlo vjerojatno sjeći ovu veliku kružnicu. Naprotiv, malo je vjerojatno da će površina sfere koja odgovara četvrtom satelitu sjeći bilo koju od dviju točaka iz presjeka prvih triju pošto bi svaka pogreška sata mogla uzrokovati promašaj točke presjeka. Ipak, udaljenost valjane procjene pozicije GPS prijamnika do površine sfere koja odgovara četvrtom satelitu može se iskoristiti za izračun korekcije satova. Neka {\displaystyle \scriptstyle r_{4}} {\displaystyle \scriptstyle r_{4}} označava udaljenost od valjane procjene pozicije GPS prijamnika do četvrtog satelita a {\displaystyle \scriptstyle p_{4}} {\displaystyle \scriptstyle p_{4}} neka označava pseudoraspon četvrtog satelita. Neka je {\displaystyle \scriptstyle da\,=\,r_{4}\,-\,p_{4}} {\displaystyle \scriptstyle da\,=\,r_{4}\,-\,p_{4}}. Primjetite da je {\displaystyle \scriptstyle da} {\displaystyle \scriptstyle da} udaljenost od izračunate pozicije GPS prijamnika do površine sfere koja odgovara četvrtom satelitu. Stoga kvocijent {\displaystyle \scriptstyle b\,=\,da/c\ } {\displaystyle \scriptstyle b\,=\,da/c\ } daje procjenu od

(ispravno vrijeme) - (vrijeme indicirano satom na prijamniku),
a sat GPS prijamnika može se pomaknuti unaprijed ako je {\displaystyle \scriptstyle b} {\displaystyle \scriptstyle b} pozitivno ili unatrag ako je {\displaystyle \scriptstyle b} {\displaystyle \scriptstyle b} negativno.

Segmentacija sustava[uredi VE | uredi]

Nelansirani satelit GPS-a prikazan u Aerosvemirskom muzeju u San Diegu
Trenutačni GPS sastoji se od triju glavnih segmenata. To su svemirski segment (SS, engl. space segment), kontrolni segment (CS, engl. control segment) i korisnički segment (US, engl. user segment)[26].

Svemirski segment[uredi VE | uredi]
Za više informacija pogledajte poglavlje 4.3 u "Essentials of Satellite Navigation Compendium", GPS satelit, popis lansiranja GPS satelita i poglavlje 6. u The global positioning system by Parkinson and Spilker.


Vizualni primjer gibanja konstelacije GPS-a zajedno sa Zemljinom rotacijom. Primjetite kako se broj satelita u pogledu s dane točke na Zemljinoj površini, u ovom primjeru na 45° N, mijenja tijekom vremena.
Svemirski segment (SS) sastoji se od orbitirajućih GPS satelita ili svemirskih vozila (SV, engl. Space Vehicles) u žargonu GPS-a. Dizajn GPS-a originalno je bio namijenjen za 24 SV-a od kojih je po osam trebalo nalaziti u tri kružne orbitalne ravnine[27], no to je modificirano u šest ravnina s po 4 satelita[28]. Orbitalne ravnine centrirane su u Zemlji te ne rotiraju u odnosu na udaljene zvijezde[29]. Šest ravnina imaju inklinaciju (nagib prema Zemljinu ekvatoru) od približno 55° te su odvojene rektascenzijom od po 60° ascendirajućeg čvora (kut duž ekvatora od referentne točke do orbitnog presjeka)[30]. Orbite su raspoređene tako da je najmanje šest satelita uvijek u liniji vidljivosti s gotovo svake točke na Zemljinoj površini[31].

Orbitirajući na visini od približno 20.200 kilometara (oko 12.550 milja ili 10.900 nautičkih milja; orbitalni radijus od približno 26.600 km (oko 16.500 mi ili 14.400 NM)), svaki SV obiđe dvije pune orbite svakog sideričkog dana, ponavljajući istu prizemnu putanju svakog dana[32]. Tijekom razvoja ovo je bilo vrlo korisno jer je čak i samo četiri satelita u ispravnom rasporedu značilo da će sva četiri biti vidljiva s neke točke nekoliko sati svakog dana. Ponavljanje prizemnih putanja može se koristiti za vojne operacije radi osiguravanja dobre pokrivenosti u borbenim zonama.

Od ožujka 2008. godine[33] konstelaciju GPS-a čini 31 aktivno emitirajući satelit, te dva starija satelita povučena iz aktivne službe koji se nalaze u konstelaciji kao orbitalne pričuve. Dodatni sateliti poboljšavaju preciznost izračuna GPS prijamnika osiguravajući redundantna mjerenja. Povećanim brojem satelita konstelacija je promijenjena u neuniformnom rasporedu. Takav je raspored bio prikazan radi poboljšanja pouzdanosti i dostupnosti sustava u odnosu na uniformni sustav kada mnogi sateliti zakažu[34]. Oko osam satelita vidljivo je s bilo koje točke na Zemlji u bilo koje vrijeme (vidi animaciju desno).

Kontrolni segment[uredi VE | uredi]
Kontrolni segment sastoji se od:

glavne kontrolne stanice (MCS, engl. Master Control Station),
alternativne glavne kontrolne stanice (engl. Alternate Master Control Station),
četiriju dodijeljenih zemaljskih antena i
šest dodijeljenih monitornih stanica.
MCS također može pristupiti zemaljskim antenama Satelitske kontrolne mreže Ratnog zrakoplovstva SAD-a (AFSCN, engl. U.S. Air Force Satellite Control Network) za dodatne mogućnosti zapovijedanja i kontrole te monitornim stanicama NGA-e (National Geospatial-Intelligence Agency, Nacionalna geoprostorna obavještajna agencija). Putanje satelita prate nadzorne stanice Ratnog zrakoplovstva SAD-a na Havajima, Kwajaleinu, Ascensionu, Diegu Garciji, Colorado Springsu u Coloradu i Cape Canaveralu skupa sa zajedničkim monitornim stanicama NGA-e koje djeluju u Engleskoj, Argentini, Ekvadoru, Britaniji, Australiji i Washingtonu DC. Informacije o praćenju šalju se u MCS Svemirskog zapovjedništva Ratnog zrakoplovstva u zračnoj bazi Schriever, 16 milja ESE od Colorado Springsa, kojom operira 2. eskadra za svemirske operacije (2 SOPS, engl. 2nd Space Operations Squadron) Ratnog zrakoplovstva SAD-a (USAF, engl. United States Air Force). 2 SOPS zatim redovito kontaktira svaki satelit GPS-a s navigacijskim ažuriranjem koristeći dodijeljene ili zajedničke (AFSCN-ove) zemaljske antene (zemaljske antene dodijeljene GPS-u smještene su na Ascensionu, Diegu Garciji, Kwajaleinu i Colorado Springsu). Ova ažuriranja sinkroniziraju atomske satove na satelitima na samo nekoliko nanosekunda međusobne razlike, te usklađuju efemeridu internalnog orbitalnog modela u svakom satelitu. Ova ažuriranja rade se Kalmanovim filtrom koji koristi ulazne elemente iz zemaljskih monitornih stanica, informacija o vremenu u svemiru te mnogih drugih[35].

Satelitski manevri nisu precizni po standardima GPS-a. Za promjenu orbite satelita potrebno je prvo satelit označiti nezdravim tako da ga prijamnici ne koriste u svojim izračunima. Tek se nakon toga može izvesti manevar, a rezultirajuća orbita pratiti sa Zemlje. Zatim se šalju podaci o novoj efemeridi, a satelit se ponovo označava zdravim.

Korisnički segment[uredi VE | uredi]

GPS prijamnici dolaze u raznim oblicima od uređaja integriranih u automobile, telefone i satove do posebnih uređaja poput ovih prikazanih ovdje čiji su proizvođači Trimble, Garmin i Leica (s lijeva na desno).
Korisnički segment sastoji se od stotina tisuća američkih i savezničkih vojnih korisnika sigurne usluge preciznog pozicioniranja GPS-a (engl. GPS Precise Positioning Service) i desetke milijuna civilnih, komercijalnih i znanstvenih korisnika usluge standardnog pozicioniranja (engl. Standard Positioning Service). GPS prijamnici općenito se sastoje od antene podešene na frekvencije na kojima transmitiraju sateliti, prijamničkih procesora, te visokostabilnog sata (često kristalnog oscilatora). Također mogu sadržavati zaslon koji korisniku prikazuje informaciju o lokaciji i brzini. Prijamnik se često opisuje po broju njegovih kanala: to znači koliko satelita prijamnik može simultano nadzirati. U početku je broj kanala bio ograničen na četiri ili pet, no tijekom godina on se progresivno povećavao tako da su 2007. godine prijamnici tipično imali između 12 i 20 kanala[36].

GPS prijamnici mogu uključivati ulaz za diferencijalne korekcije rabeći format RTCM SC-104. On je tipično u formi porta RS-232 s brzinom od 4.800 bit/s. Podaci se zapravo šalju puno manjom brzinom što ograničava točnost signala poslanog RTCM-om. Prijamnici s unutarnjim DGOS prijamnicima mogu izvedivošću nadići prijamnike koji koriste vanjske RTCM podatke. Od 2006. godine čak i jeftine jedinice obično sadrže prijamnike sa sustavom za augmentaciju širokog područja (WAAS, engl. Wide Area Augmentation System).

Mnogi GPS prijamnici mogu podatke o poziciji prenositi na osobno računalo ili drugi uređaj koristeći protokol NMEA 0183 ili noviji i manje korišteni protokol NMEA 2000[37]. Iako ove protokole službeno definira NMEA[38], referencije ovih protokola sastavljene su iz javnih zapisa čime je alatima s otvorenim izvorom poput gpsd-a omogućeno čitanje protokola bez kršenja zakonâ o intelektualnom vlasništvu. Postoje također ostali protokoli zaštićeni zakonom poput protokola SiRF i protokola MTK. Prijamnici se mogu povezivati s ostalim uređajima rabeći metode uključujući serijsku konekciju, USB ili Bluetooth.

Više informacija: GPS navigacijski uređaji
Navigacija[uredi VE | uredi]
O aspektima navigacije govori se u ovom odlomku. Pododlomak o navigacijskim signalima govori o detaljima sadržaja poruke. Navedene su frekvencije nosača kojima se šalju poruke. Opisane su demodulacija nosača i dekodiranje signala sa satelita. Pododlomak o izračunu pozicije ne zahtijeva poznavanje ostalih pododlomaka. Osnovne jednadžbe koje opisuju geometriju sfere i fundamentalan koncept po kojem satelitna poruka putuje brzinom svjetlosti koriste se u pododlomku. Pododlomak o multidimenzionalnom Newton-Raphsonu mogu biti zanimljivi samo onim čitateljima koji traže detaljnije poznavanje zapisivanja algoritama i nepotrebne su za čitatelja koji je zainteresiran za ovoliku količinu detalja.

Navigacijski signali[uredi VE | uredi]

Emitirajući signal GPS-a
Svaki satelit GPS-a kontinuirano emitira Navigation message (hrv. navigacijska poruka) brzinom od 50 bit/s koja sadržava time-of-week (dosl. vrijeme u tjednu), GPS broj tjedna i informaciju o zdravlju satelita (sve emitirano u prvom dijelu poruke), efemeridu (emitiranu u drugom dijelu poruke) i almanah (posljednji dio poruke). Poruka se šalje u okvirima od kojih svakom treba 30 sekunda za emitiranje 1.500 bitova.

Emitiranje svakog okvira od 30 sekunda započinje precizno svake minute i pola minute kao što je naznačeno satelitskim atomskim satom prema satelitskom formatu poruke. Svaki okvir sadrži 5 podokvira dugih 6 sekunda i s 300 bitova. Svaki podokvir sadrži 10 riječi od po 30 bitova i dugih od po 0,6 sekunda.

Riječi 1 i 2 svakog podokvira imaju jednak tip podataka. Prva riječ je telemetrijska riječ koja naznačuje početak podokvira, a prijamnik je koristi za sinkronizaciju s navigacijskom porukom. Druga riječ je HOW ili handover word (riječ prekapčanja) koja sadrži vremensku informaciju koja omogućuje prijamniku identifikaciju podokvira te pruža vrijeme slanja sljedećeg podokvira.

Riječi 3 do 10 podokvira 1 sadrže podatke koji opisuju satelitski sat i njegov odnos prema vremenu GPS-a. Riječi 3 do 10 podokvira 2 i 3 sadrže podatke o efemeridi te daju preciznu orbitu samog satelita. Efemerida se ažurira svaka 2 sata, a općenito vrijedi 4 sata s provizijom za ažuriranja svakih 6 sati ili dulje u nenominalnim uvjetima. Vrijeme potrebno za uzimanje efemeride postaje značajan element kašnjenja u fiksaciji prve pozicije je kako hardver postaje sve moćniji, vrijeme potrebno za zaključavanje satelitskog signala skraćuje se a podaci o efemeridi zahtijevaju 30 sekunda (u najgorem slučaju) prije nego što se zaprime i to zbog niske razine transmisije podataka.

Almanah se sastoji od grube orbite i informacija o statusu svakog satelita u konstelaciji, ionosferskog modela te informacija o odnosu GPS deriviranog vremena i koordiniranog univerzalnog vremena (UTC). Riječi 3 do 10 podokvira 4 i 5 sadrže novi dio almanaha. Svaki okvir sadrži 1/25 almanaha pa je potrebno 12,5 minuta za primanje cjelovitog alamanaha samo s jednog satelita[39]. Almanah služi za nekoliko svrha. Prva je asistencija u akviziciji dostupnih satelita, omogućujući prijamniku generiranje popisa vidljivih satelita baziranog na pohranjenoj poziciji i vremenu, dok je efemerida sa svakog satelita potrebna za izračunavanje ispravaka pozicije korištenjem tog satelita. Na starijem hardveru nedostatak almanaha u novim prijamnicima uzrokovao bi duža čekanja prije prikaza valjane pozicije jer je traženje svakog satelita bio spor proces. Napredak u hardveru učinio je proces akvizicije mnogo bržim tako da odsustnost almanaha više ne predstavlja problem. Druga svrha odnosi se na vrijeme derivirano iz GPS-a (tzv. GPS vrijeme) povezano s internacionalnim vremenskim standardom UTC. Konačno, almanah omogućuje prijamniku s jednom frekvencijom ispravak ionosferske pogreške korištenjem globalnog ionosfernog modela. Korekcije nisu jednako pouzdane kao augmentacijski sustavi poput WAAS-a ili prijamnika s dvjema frekvencijama. No i to je često bolje ni od kakve korekcije jer ionosferna pogreška je izvor najveće pogreške za GPS prijamnike s jednom frekvencijom. Važno je o navigacijskim podacima napomenuti da svaki satelit ne transmitira samo svoju efemeridu već transmitira almanah za sve satelite.

Svi sateliti emitiraju na dvije frekvencije 1,57542 GHz (signal L1) i 1,2276 GHz (signal L2). Prijamnik može razlikovati signale iz različitih satelita jer GPS koristi tehniku širokog spektra nazvanu mnogostruki pristup podjele koda (CDMA, engl. code division multiple access) gdje se podaci poruke s niskom razinom prijenosa kodiraju pseudonasumičnom (PRN, engl. pseudo-random) sekvencijom visoke razine koja je različita za svaki satelit. Prijamnik zna PRN kodove za svaki satelit pa može to koristiti za rekonstrukciju aktualnih podataka poruke. Podaci poruke transmitiraju se brzinom od 50 bitova u sekundi. Koriste se dva različita CDMA kodiranja: grubi/akvizicijski (C/A, engl. coarse/acquisition) kod (ili tzv. zlatni kod) na 1,023 milijuna čipova u sekundi, te precizni (P) kod na 10,23 milijuna čipova u sekundi. L1 nosač je moduliran s oba koda, tj. C/A i P kodom, dok je L2 nosač moduliran samo P kodom[40]. C/A kod je javan i koriste ga civilni GPS prijamnici, dok P kod može biti kriptiran kao tzv. P(Y) kod koji je jedino dostupan vojnoj opremi uz odgovarajući dekripcijski ključ. Oba koda, C/A i P(Y), otkrivaju korisniku precizno dnevno vrijeme.

Satelitske frekvencije[uredi VE | uredi]
L1 (1575,42 MHz): spoj navigacijske poruke, grubog akvizicijskog (C/A) koda i enkriptiranog preciznog (P) koda plus novi L1C na budućim satelitima bloka III.
L2 (1227,60 MHz): P(Y) kod plus novi L2C kod na Block IIR-M i novijim satelitima.
L3 (1381,05 MHz): koristi se za korisni sadržaj sustava za detekciju nuklearnih detonacija (NUDET, engl. Nuclear Detonation) (NDS, engl. NUDET Detection System) radi signalne detekcije nuklearnih detonacija i ostalih visokoenergetskih infracrvenih događaja. Koristi se za provođenje ugovora o zabrani nuklearnih ispitivanja.
L4 (1379,913 MHz): proučava se za dodatne ionosferne korekcije.
L5 (1176,45 MHz): predložen za uporabu kao civilni signal za životnu sigurnost (SoL, engl. safety-of-life) (vidi modernizacija GPS-a). Ova se frekvencija nalazi u internacionalno zaštićenom pojasu za aeronautičku navigaciju što obećava malenu ili nikakvu interferenciju u svim okolnostima. Prvi satelit bloka IIF koji će osigurati ovaj signal planira se lansirati 2010. godine[41].
C/A kod[uredi VE | uredi]
Demodulacija i dekodiranje[uredi VE | uredi]

Demodulacijski i dekodirajući GPS satelitski signali koriste grubi/akvizicijski zlatni kod.
Budući da su svi satelitski signali modulirani na istoj frekvenciji L1 nosača, potrebno je odvojiti signale nakon demodulacije. To se radi dodjeljivanjem jedinstvene pseudonasumične sekvencije poznate kao zlatni kod svakome satelitu, a signali se dekodiraju nakon demodulacije uporabom modulo 2 dodatka zlatnog koda koji odgovara satelitima n1 do nk gdje je k broj kanala u GPS prijamniku a n1 do nk odgovara pseudonasumičnim brojevima koji se pridružuju satelitima. Svaki satelitski identifikator PRN-a jest jedinstven i u rasponu od 1 do 32[42]. Rezultat tih modulo 2 dodataka jesu navigacijske poruke od 50 bit/s od satelita n1 sve do nk. Zlatni kodovi korišteni u GPS-u čine sekvenciju od 1023 bitova s periodom od jedne milisekunde. Ovi su zlatni kodovi jako uzajamno pravokutni tako da je malo vjerojatno da će se jedan satelitski signal krivo interpretirati s drugim. Zlatni kodovi također imaju dobra autokorelacijska svojstva[43].

Postoji 1025 različitih zlatnih kodova duljine 1023 bitova, no od svih njih koristi se samo 32. Ovi zlatni kodovi često se nazivaju pseudonasumičnim šumom jer ne sadrže nikakve podatke i izgledaju nalik nasumičnim sekvencijama[44]. No, to može zavarati jer su oni zapravo determinističke sekvencije.

Ako su se informacije o almanahu prethodno prikupile, prijamnik odabire koje će satelite osluškivati prema njihovim PRN-ovima. Ako se informacije o almanahu ne nalaze u memoriji, prijamnik ulazi u pretraživački mod i kruži kroz PRN brojeve sve dok se ne zaključa na jednom od satelita. Kako bi se uspio zaključati, potrebna je neometana linija vidljivosti između prijamnika i satelitâ. Prijamnik zatim može preuzeti almanah i determinirati satelite koje će osluškivati. Prijamnik detektira svaki satelitski signal tako što ga identificira prema različitom obrascu C/A koda.

Prijamnik koristi C/A zlatni kod s istim PRN brojem kao i satelit radi izračunavanja pomaka O (engl. offset) koji generira najbolju korelaciju. Pomak O izračunava se metodom pokušaja i pogreške. 1023 bita satelitskog PRN signala uspoređuju se s prijamničkim PRN signalom. Ako se ne postigne korelacija, 1023 bita prijamničkog unutarnjeg generiranog PRN koda zamijenjuje se za jedan bit u odnosu na satelitski PRN kod, te se zatim signali ponovo uspoređuju. Proces se ponavlja sve dok se ne postigne korelacija ili se iskušaju sva moguća 1023 slučaja[45]. Ako se iskušaju svih 1023 slučaja bez postizanja korelacije, onda se frekvencijski oscilator pomiče na sljedeću vrijednost i proces se ponavlja.

Budući da se primljena frekvencija nosača može razlikovati zbog Dopplerova pomaka, točke gdje počinju primljene PRN sekvencije ne moraju se razlikovati od O egzaktnim integralnim brojem milisekunda. Zbog ovoga se praćenje frekvencije nosača zajedno s praćenjem PRN koda koristi za determiniranje trenutka kada primljeni satelitski PRN kod počinje[45]. Za razliku od ranijih izračunavanja pomaka u kojem se potencijalno trebalo iskušavati svih 1023 pomaka, praćenje održavanja zaključavanja obično zahtijeva zamjenu na polovicu pulsne duljine ili manje. Kako bi izveo ovo praćenje, prijamnik promatra dvije veličine, faznu pogrešku i primljeni frekvencijski pomak. Korelacija između primljenog PRN koda u odnosu na PRN kod koji generira prijamnik izračunava se radi determiniranja jesu li bitovi dvaju signala krivo postavljeni. Usporedbe s korelacijom izračunatom PRN kodom koji generira prijamnik pomicanjem polovice pulsne širine ranije i polovice pulsne širine kasnije (vidi odlomak 1.4.2.4 [22]) koriste se za procjenu učestalosti fazne pogreške. Naredba za frekvencijski generator i svako sljedeće potrebno pomicanje PRN koda izračunavaju se kao funkcija fazne pogreške i učestalosti fazne pogreške u skladu s korištenim kontrolnim zakonom. Dopplerova brzina izračunava se kao funkcija frekvencijskog pomaka od nominalne frekvencije nosača. Dopplerova brzina je komponenta brzine duž linije vidljivosti prijamnika u odnosu na satelit.

Kako prijamnik nastavlja čitati sukcesivne PRN sekvencije, naići će na iznenadnu promjenu u fazi od 1023 bita primljenog PRN signala. To označava početak podatkovnog bita navigacijske poruke (vidi odlomak 1.4.2.5 [22]). To omogućava prijamniku početak čitanja 20 milisekunda dugih bitova navigacijske poruke. Svaki podokvir navigacijskog okvira počinje s telemtrijskom riječi koja omogućava prijamniku detekciju početka podokvira i determinaciju vremena na satu prijamnika kada počinje navigacijski podokvir. Svaki podokvir navigacijskog okvira također je identificiran bitovima u prekapčanoj riječi (HOW, engl. handover word) što omogućuje prijamniku determiniranje podokvira (vidi odlomak 1.4.2.6 [22] i odlomak 2.5.4 "Essentials of Satellite Navigation Compendium" (Osnove satelitskog navigacijskog kompendija)). Prije prve procjene pozicije može biti prisutna odgoda do najviše 30 sekunda zbog potrebe čitanja efemernih podataka prije izračunavanja presjecišta sfernih površina.

Nakon što se podokvir pročita i interpretira može se izračunati vrijeme slanja sljedećeg podokvira pomoću uporabe podatka o korekciji sata i HOW-a. Prijamnik zna vrijeme sata prijamnika kada je primljen sljedeći podokvir iz detekcije telemetrijske riječi koja stoga omogućuje izračunavanje tranzitnog vremena i stoga pseudoraspona. Prijamnik je potencijalno sposoban prikupiti novo mjerenje pseudoraspona na početku svakog podokvira ili svakih 6 sekunda.

Zatim se orbitalni pozicijski podaci ili efemerida iz navigacijske poruke koristi za precizan izračun položaja gdje je satelit bio na početku poruke. Osjetljiviji prijamnik potencijalno će brže moći prikupiti efemeridne podatke od manje osjetljivog prijamnika posebice u bučnoj okolini[46].

Proces se ponavlja za svaki satelit koji prijamnik osluškuje.

Napredni izračun pozicije[uredi VE | uredi]
Prije prikaza matematičkog opisa izračuna pozicije, ukratko je dan uvodni materijal o ovoj temi. Za opisivanje osnovnog koncepta kako GPS prijamnik radi u početku se ignoriraju pogreške. Uporabom poruka primljenih s četiriju satelita GPS prijamnik može determinirati satelitske pozicije i vrijeme slanja poruka. Komponente pozicije x, y i z te vrijeme slanja označeni su kao {\displaystyle \ \left[x_{i},y_{i},z_{i},t_{i}\right]} {\displaystyle \ \left[x_{i},y_{i},z_{i},t_{i}\right]} gdje supskript i označava satelit i poprima vrijednost 1, 2, 3 ili 4. Poznavajući vrijeme slanja poruke {\displaystyle \ \ tr_{i}} {\displaystyle \ \ tr_{i}}, GPS prijamnik može izračunati naznačeno tranzitno vrijeme poruke {\displaystyle \ \left(tr_{i}-t_{i}\right)} {\displaystyle \ \left(tr_{i}-t_{i}\right)}. Uz pretpostavku da je poruka putovala brzinom svjetlosti c prijeđena udaljenost {\displaystyle \ \ p_{i}} {\displaystyle \ \ p_{i}} može se izračunati kao {\displaystyle \ \left(tr_{i}-t_{i}\right)c} {\displaystyle \ \left(tr_{i}-t_{i}\right)c}. Poznavajući udaljenost GPS prijamnika do satelita i poziciju satelita implicira se da je GPS prijamnik smješten na površini sfere centriranoj na poziciji satelita. Stoga znamo da je naznačena pozicija GPS prijamnika na presjeku površina četiriju sfera ili blizu njega. U idealnom slučaju bez pogrešaka GPS prijamnik nalazit će se na presjeku površina četiriju sfera. Ako se površine dviju sfera sijeku u više od jedne točke, onda se one sijeku u kružnici. Ovdje u svrhe GPS-a isključujemo nerealni slučaj dvije koincidentne sfere. Slika dviju sfernih površina koje se sijeku u kružnici, prikazana je dolje radi pomoći čitatelju u vizualizaciji ovog presjeka. Dvije točke u kojoj se sijeku površine sfera jasno su naznačene na slici. Udaljenost među tim dvjema točkama promjer je kruga presjeka. Ukoliko i dalje ne vidite navedeno, pokušajte razmotriti kako bi izgledao bočni pogled na sfere koje se sijeku. Taj bi pogled trebao izgledati jednako kao na slici zbog simetrije dviju sfera. Zaista, pogled iz bilo kojeg vodoravnog smjera izgledat će jednako. To bi trebalo pojasniti čitatelju da se površine dviju sfera zaista sijeku u kružnici.


Dvije sferne površine sijeku se u kružnici
Članak o trilateraciji matematički pokazuje kako je determinirana jednadžba kruga. Krug i sferna površina u praksi se u većini slučajeva sijeku u dvije točke, iako je zamislivo da se sijeku u jednoj ili ni u jednoj točki. Ovdje isključujemo u svrhe GPS-a nerealni slučaj od tri kolinearna (leže na istom pravcu) sferna centra. Druga slika koja prikazuje površinu sfere koja siječe kružnicu (ne disk) u dvije točke prikazana je radi pomoći u vizualizaciji ovog presjeka. Trilateracija opet jasno pokazuje to matematički. Ispravna pozicija GPS prijamnika je ona koja je najbliža četvrtoj sferi. Ovaj je odlomak opisao osnovni koncept GPS uz ignoriranje pogrešaka. Sljedeći je problem kako procesirati poruke kada su prisutne pogreške.


Površina sfere siječe kružnicu (tj. rub diska) u dvije točke
Neka {\displaystyle \ \ b} {\displaystyle \ \ b} označava pogrešku ili otklon sata, vrijednost za koju sat prijamnika kasni. GPS prijamnik ima četiri nepoznanice, tri komponente pozicije GPS prijamnika i otklon sata {\displaystyle \ \left[x,y,z,b\right]} {\displaystyle \ \left[x,y,z,b\right]}. Jednadžba sfernih površina dana je sljedećim izrazom

{\displaystyle (x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}+(z-z_{i})^{2}={\bigl (}[tr_{i}+b-t_{i}]c{\bigr )}^{2},} {\displaystyle (x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}+(z-z_{i})^{2}={\bigl (}[tr_{i}+b-t_{i}]c{\bigr )}^{2},} {\displaystyle \;i=1,2,3,4} {\displaystyle \;i=1,2,3,4}
Druga korisna forma ovih jednadžbi dana je u pojmovima pseudoraspona koji su jednostavno rasponi aproksimativno bazirani na naznačenom (tj. nekorigiranom) vremenu sata GPS prijamnika tako da je {\displaystyle p_{i}=\left(tr_{i}-t_{i}\right)c} {\displaystyle p_{i}=\left(tr_{i}-t_{i}\right)c}. Stoga su jednadžbe sljedeće:

{\displaystyle p_{i}={\sqrt {(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}+(z-z_{i})^{2}}}-bc,\;i=1,2,3,4} {\displaystyle p_{i}={\sqrt {(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}+(z-z_{i})^{2}}}-bc,\;i=1,2,3,4}.
Dvije najvažnije metode izračuna pozicije GPS prijamnika i satnog otklona jesu (1) trilateracija koju slijedi pronalaženje jednodimenzionalnog numeričkog korijena te (2) multidimenzionalne Newton-Raphsonove kalkulacije. U sljedećim retcima govori se o prednostima ovih dviju metoda.

Prijamnik može riješiti trilateraciju koju slijedi jednodimenzionalno numeričko korijensko pronalaženje[47]. Ova metoda rabi trilateraciju za determiniranje intersekcije površina triju sfera. U trilateraciji je jasno prikazano da se površine triju sfera sijeku u točkama 0, 1 i 2. U običnom slučaju dva presjeka odabire se rješenje koje je najbliže površini sfere koja odgovara četvrtom satelitu. Umjesto njega može se ponekad rabiti površina Zemlje posebice u slučaju civilnih GPS prijamnika jer je u SAD-u ilegalno pratiti vozila iznad 60.000 stopa (18.000 m) visine. Otklon {\displaystyle \ b} {\displaystyle \ b} računa se zatim kao funkcija udaljenosti od rješenja do površine sfere koja odgovara četvrtom satelitu. Za determiniranje funkcije koja će se koristiti za izračun {\displaystyle \ b} {\displaystyle \ b} vidi poglavlje o pronalaženju korijena u [47] ili pregled. Korištenjem ažuriranog primljenog vremena baziranog na ovom otklonu izračunavaju se nove sfere te se proces ponavlja. Ovo se ponavljanje nastavlja sve dok udaljenost iz valjanog trilateracijskog rješenja nije dostatno blizu površini sfere koja odgovara četvrtom satelitu. Prednost ove metode leži u tome što uključuje jednodimenzionalno nasuprot multidimenzionalnom numeričkom korijenskom pronalaženju.
Prijamnik može rabiti metodu multidimenzionalnog numeričkog korijenskog pronalaženja kao što je Newton-Raphsonova metoda[47]. Lineariziraj oko aproksimativnog rješenja, recimo {\displaystyle \ \left[x^{(k)},y^{(k)},z^{(k)},b^{(k)}\right]} {\displaystyle \ \left[x^{(k)},y^{(k)},z^{(k)},b^{(k)}\right]} od iteracije k, zatim riješi četiri linearne jednadžbe derivirane iz gornjih kvadratnih jednadžbi kako bi dobio {\displaystyle \left[x^{(k+1)},y^{(k+1)},z^{(k+1)},b^{(k+1)}\right]} {\displaystyle \left[x^{(k+1)},y^{(k+1)},z^{(k+1)},b^{(k+1)}\right]}. Radijusi su veliki tako da su sferne površine gotovo ravne[48][49]. Ova aproksimativna ravnina može uzrokovati da iterativna procedura ubrazno konvergira u slučaju gdje je {\displaystyle \ b} {\displaystyle \ b} blizu ispravne vrijednosti, a primarna se promjena nalazi u vrijednostima {\displaystyle x,y,\;and\;z} {\displaystyle x,y,\;and\;z}, jer u tom slučaju problem je samo odrediti presjek gotovo ravnih površina i stoga se približiti linearnom problemu. No, kada se značajno mijenja, ova aproksimativna ravnina ne može se iskoristiti kao prednost u stvaranju brze konvergencije jer će se u tom slučaju ove gotovo ravne površine kretati kako se sfere budu širile ili sužavale. Ova moguća brza konvergencija prednost je ove metode. Također se tvrdi kako je ova metoda "tipična" metoda koju koriste GPS prijamnici[50][51][52]. Nedostatak ove metode multidimenzionalnog korijenskog pronalaženja u usporedbi s jednodimenzionalnim korijenskim pronalaženjem leži u tome da "ne postoji dobra generalna metoda za rješavanje sustava s više od jedne nelinearne jednadžbe." Za detaljniji matematički opis vidi multidimenzionalni Newton Raphson.
Ostale metode uključuju:
rješavanje presjeka ekspandiranih signala iz svjetlosnih konusa u 4-prostorne konuse
rješavanje presjeka hiperboloida determiniranih vremenskom razlikom signala primljenih sa satelita korištenjem multilateracije,
rješavanje jednadžbi u skladu sa [50][51][53].
Kada je dostupno više od četiriju satelita, nužno je donijeti odluku o tome hoće li se koristiti četiri najbolja satelita ili više od četiri uz uzimanje u obzir faktora poput broja kanala, sposobnosti procesiranja, te geometrijske dilucije preciznosti. Uporaba više od četiriju rezultata u predeterminiranom sustavu jednadžbi bez jedinstvenog rješenja koji se moraju riješiti uz pomoć najmanjih kvadrata ili slične tehnike. Ako se koriste svi vidljivi sateliti, rezultati su jednako dobri kao oni dobiveni s četiriju satelita, ali obično i bolji. Pogreške u rezultatima također se mogu procijeniti kroz ostatke[54]. Sa svakom kombinacijom od četiriju ili više satelita može se izračunati vektor geometrijske dilucije preciznosti (GDOP, engl. geometric dilution of precision) baziran na relativnoj nebeskoj poziciji korištenih satelita[54][55]. Ukoliko se odabere sve više satelita, pseudorasponi iz kombinacija od više od četiriju satelita mogu se procesirati radi dodavanja više procjena za lokaciju i satni odmak. Prijamnik zatim determinira koje će se kombinacije koristiti te kako izračunati procijenjenu poziciju determiniranjem prosječne težine tih pozicija i satnih odmaka. Nakon što se izračunaju konačna lokacija i vrijeme, lokacija se izražava u specifičnom koordinatnom sustavu s latitudom i longitudom koristeći geodetski datum WGS 84 ili lokalni sustav specifičan za pojedinu državu[56].
Konačno, rezultati iz drugih pozicijskih sustava poput GLONASS-a ili nadolazećeg Galilea mogu se koristiti u podešavanju ili za dvostruku provjeru rezultata. (Prema dizajnu ti sustavi koriste iste pojaseve tako da mogu dijeliti prijamničke krugove, iako je dekodiranje različito.)
Multidimenzionalni Newton-Raphson za GPS[uredi VE | uredi]
Ovaj odlomak pruža detaljniju raspravu o jednadžbama korištenim u drugoj metodi opisanoj u naprednom računanju pozicije.

Linearizirane jednadžbe izvedene su uporabom prikladnih parcijalnih derivacija uz opisani algoritam. U [49] raspravlja se o istoj metodi, no jednadžbe nisu prikazane. Neka {\displaystyle x,y\;} {\displaystyle x,y\;} i {\displaystyle z\;} {\displaystyle z\;} označavaju prave koordinate pozicije GPS prijamnika u vremenu {\displaystyle \ t} {\displaystyle \ t}. Neka {\displaystyle \ b} {\displaystyle \ b} označava nepoznatu pogrešku sata ili otklon, vrijednost za koju je sat prijamnika sporiji. Neka koordinate svakog satelita i vrijeme slanja poruke budu {\displaystyle \left[x_{i},y_{i},z_{i},t_{i}\right]} {\displaystyle \left[x_{i},y_{i},z_{i},t_{i}\right]}, neka indicirano vrijeme slanja GPS sata bude {\displaystyle tr_{i}\;{\mbox{za}}\ i=1,2,3,4} {\displaystyle tr_{i}\;{\mbox{za}}\ i=1,2,3,4} a c brzina svjetlosti. Pseudoraspon se računa kao:

{\displaystyle p_{i}=\left(tr_{i}-t_{i}\right)c} {\displaystyle p_{i}=\left(tr_{i}-t_{i}\right)c}
Pretpostavimo da poruka putuje brzinom svjetlosti, tada pseudoraspon zadovoljava jednadžbu: