Diferencijalna jednadžba

Diferencijalna jednadžba je matematička jednadžba koja se odnosi neku funkciju sa svojim derivatima . U slučajevima primjene, funkcije obično predstavljaju fizikalnih veličina, derivati ​​predstavljaju njihove stope promjene, a jednadžba definira odnos između ta dva. Budući da takvi odnosi su vrlo česte, diferencijalne jednadžbe igrati važnu ulogu u mnogim disciplinama, uključujući inženjering , fizike , ekonomije i biologije .

U čiste matematike , diferencijalne jednadžbe su proučavali iz nekoliko različitih perspektiva, uglavnom se bave svojim rješenjima-set funkcija koje zadovoljavaju jednadžbu. Samo najjednostavnije diferencijalne jednadžbe su rješivi eksplicitnim formulama; Međutim, neka svojstva otopina danog diferencijalne jednadžbe mogu se odrediti bez nalaz njihov točan oblik.

Ako je self-sadržane formula za rješenje nije dostupan, otopina se može numerički aproksimirati pomoću računala. Teorija dinamički sustavi stavlja naglasak na kvalitativnu analizu sustava opisanih diferencijalnim jednadžbama, a mnogi su numeričke metode razvijene su kako bi se utvrdilo rješenja s određenom točnošću.Povijest [ uredi ]

Diferencijalne jednadžbe prvi put došao u postojanje s izum račun od strane Newtona i Leibniza . U 2. poglavlju njegove 1671 rad "Metodija fluxionum et Serierum Infinitarum", [1] Isaac Newton navedene tri vrste diferencijalne jednadžbe:

 {\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = f (x)} {\ Frac {dy} {dx}} = f (x)

 {\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = f (x, y)} {\ Frac {dy} {dx}} = f (x, y)

 {\ displaystyle x_ {1} {\ frac {\ djelomična y} {\ djelomična x_ {1}}} + x_ {2} {\ frac {\ djelomična y} {\ djelomična x_ {2}}} = y} x_ {1} {\ frac {\ djelomična y} {\ djelomična x_ {1}}} + x_ {2} {\ frac {\ djelomična y} {\ djelomična x_ {2}}} = y

On rješava ove primjere i drugi koriste beskonačnu seriju i raspravlja o ne-jedinstvenost rješenja.

Jakov predložio Bernoullijeva diferencijalna jednadžba u 1695. [2] To je obična diferencijalna jednadžba oblika

 {\ displaystyle y '+ P (x) y = Q (x) y ^ {n} \,} Y '+ P (x) y = Q (x) y ^ {n} \,

za koji je sljedeće godine Leibniz dobiti rješenja tako da je pojednostavljivanje. [3]

Povijesno gledano, problem vibrirajuću string kao što je to od glazbala proučavana je Jean le Rond d'Alembert , Leonhard Euler , Daniel Bernoulli , te Joseph-Louis Lagrange . [4] [5] [6] [7] U 1746, d'Alembert otkrio jednodimenzionalno valna jednadžba, te u roku od deset godina Euler otkrio trodimenzionalne jednadžbu vala. [8]

Euler-Lagrange jednadžba je razvijen u 1750 Euler i Lagrange u vezi s njihovim studijama o tautochrone problema. To je problem određivanja krivulje na kojoj će ponderirani čestica padne na fiksnu točku u određenom vremenskom razdoblju, neovisno o početnoj točki.

Lagrange riješiti ovaj problem u 1755. i poslao rješenje za Euler. I dalje razvijati Lagrangeov metodu i primijeniti na mehaniku , što je dovelo do stvaranja Lagrangian mehanike .

Fourier je objavio svoj ​​rad na toplinskog toka u Theorie analytique de la chaleur (Analitička teorija topline), [9] u kojoj je temeljio svoju rasu Newtonov zakon hlađenja , naime, da je protok topline između dvaju susjednih molekula proporcionalna izuzetno mala razlika njihovih temperaturama. Sadržane u ovoj knjizi bio je Fourierova prijedlog njegove jednadžbe topline za vodljive difuziju topline. Ova djelomična diferencijalna jednadžba je sada naučio da svaki student matematičkoj fizici.

Primjer [ uredi ]

Na primjer, u klasičnoj mehanici , gibanje tijela opisuje se njezin položaj i brzina kao što je vremenska vrijednost varira. Newtonovi zakoni dopuštaju (s obzirom na položaj, brzina, ubrzanje i razne sile koje djeluju na tijelo) jedan izraziti te varijable dinamički kao diferencijalna jednadžba za nepoznatog položaju tijela kao funkcija vremena.

U nekim slučajevima, to diferencijalna jednadžba (zove se jednadžba gibanja ) može biti riješen eksplicitno.

Primjer modeliranja pravi svjetski problem pomoću diferencijalne jednadžbe je određivanje brzine lopta pada kroz zrak, s obzirom na samo gravitacije i otpor zraka. Ubrzanje loptu je prema tlu je ubrzanje zbog gravitacije minus ubrzanje zbog zraka otpora.

Gravitacija se smatra konstantnom, a otpor zraka može se modelirati kao proporcionalna loptu u brzini. To znači da je lopta je ubrzanje, što je derivat njegove brzine, ovisi o brzini (i brzina ovisi o vremenu). Pronalaženje brzine kao funkciju vremena uključuje rješavanja diferencijalne jednadžbe i provjere njegove valjanosti.

Vrste [ uredi ]

Diferencijalne jednadžbe može se podijeliti u nekoliko vrsta. Osim opisivanja svojstava same jednadžbe, ove klase diferencijalnih jednadžbi može pomoći obavijestiti izbor pristupa do rješenja. Često korišteni razlike uključuju li je jednadžba: Obična / Djelomična, Linearni / Nelinearna i Homogena / nehomogeno. Ovaj popis je daleko od iscrpan; postoje mnoge druge osobine i podklase diferencijalnih jednadžbi koji mogu biti vrlo korisni u određenim situacijama.

Obične diferencijalne jednadžbe [ uredi ]

Glavni članak: Obične diferencijalne jednadžbe

Obična diferencijalna jednadžba (ODE) je jednadžba koja sadrži funkciju jedne nezavisne varijable i njihovih derivata. Pojam "običan" koristi u suprotnosti s pojmom parcijalne diferencijalne jednadžbe koje može biti s obzirom na više od jedne nezavisne varijable.

Linearne diferencijalne jednadžbe, koji su rješenja koja se mogu dodati i pomnožen sa koeficijentom, dobro su definirane i razumio, i točno se dobiva zatvoreni oblik rješenja. Za razliku od toga, ode da nemaju aditiva rješenja su nelinearni, a njihovo rješavanje je daleko više zamršen, kao što se rijetko može ih zastupati po osnovnim funkcijama u zatvorenom obliku: Umjesto toga, precizne i analitički rješenja ode u seriji ili integralnom obliku. Grafički i numerički postupci, nanositi ručno ili računalno, mogu aproksimirati rješenja ode, a možda i dovesti do korisnih informacija, često dostatna u nedostatku egzaktnih, analitičkim rješenjima.

Parcijalne diferencijalne jednadžbe [ uredi ]

Glavni članak: parcijalne diferencijalne jednadžbe

Parcijalne diferencijalne jednadžbe (PDE) je diferencijalna jednadžba koja sadrži nepoznata multivarijabilnih funkcije i njihove parcijalne derivacije . (To je u suprotnosti s običnih diferencijalnih jednadžbi , koje se bave funkcije jedne varijable i njihovih derivata.) PDE se koriste za formuliranje problema koji uključuju funkcije više varijabli, te su bilo riješeno strane, ili se koristi za stvaranje relevantne računalnog modela ,

PDE može se koristiti za opisivanje raznih pojava kao što su zvuk , toplina , elektrostatika , elektrodinamike , strujanja fluida , elastičnosti ili kvantne mehanike . To naizgled različita fizikalna pojava može se formalizirati na sličan način u smislu PDE-a. Baš kao obične diferencijalne jednadžbe često modelom jedan dimenzionalni dinamički sustavi , parcijalne diferencijalne jednadžbe često modela višedimenzionalne sustave . PDE naći svoje generalizacije stohastičkih parcijalne diferencijalne jednadžbe .

Linearnih diferencijalnih jednadžbi [ uredi ]

Glavni članak: Linearna diferencijalna jednadžba

Diferencijalna jednadžba je linearna ako je nepoznata funkcija i njegovi derivati ​​sa svojim stupanj 1 (proizvoda od nepoznate funkcije i njenih derivata nije dopušteno) i nelinearna drugačije. Karakteristično svojstvo linearnih jednadžbi je da njihova rješenja oblikuju srodan potprostora odgovarajućeg funkcija prostora, što rezultira znatno razvijenijim teorije linearnih diferencijalnih jednadžbi.

Homogene linearne diferencijalne jednadžbe su podklasa od linearnih diferencijalnih jednadžbi za koje je prostor rješenja je linearni potprostor odnosno zbroj bilo koji skup rješenja ili višekratnika rješenja je i rješenje. Koeficijenti nepoznate funkcije i njenih derivata u linearne diferencijalne jednadžbe mogu biti (poznati) funkcije nezavisne varijable ili varijable; ako su ti koeficijenti su konstante onda se govori o stalnom koeficijent linearne diferencijalne jednadžbe.

Nelinearna diferencijalne jednadžbe [ uredi ]

Nelinearnih diferencijalnih jednadžbi nastaju proizvoda iz nepoznate funkcije i njegovi derivati ​​su dopušteni i njegov stupanj je> 1.There vrlo malo metode rješavanja nelinearnih diferencijalnih jednadžbi točno; onih koji su poznati u pravilu ovisi o jednadžbe koje ima određena simetrije . Nelinearne diferencijalne jednadžbe mogu pokazivati ​​vrlo komplicirana ponašanja tijekom dužeg vremenskog intervala, obilježje kaosa . Čak su temeljna pitanja egzistencije, jedinstvenosti i extendability rješenja za nelinearne diferencijalne jednadžbe, i dobro posedness početnih i rubnih problema za nelinearne PDE su teški problemi i njihovo rješavanje u posebnim slučajevima smatra se značajan napredak u matematički teorija (usp Navier-Stokes postojanje i glatkoća ). Međutim, ako je diferencijalna jednadžba je ispravno formuliran reprezentacija smislen fizičkog procesa, onda se očekuje da će imati rješenje. [10]

Linearne diferencijalne jednadžbe često pojavljuju kao aproksimacije do nelinearnih jednadžbi. Ove aproksimacije vrijede samo pod ograničenim uvjetima. Na primjer, harmonički oscilator jednadžba je aproksimacija nelinearnog klatna jednadžba koja vrijedi za male amplitude oscilacija (vidi dolje).

Jednadžba red [ uredi ]

Diferencijalne jednadžbe opisane su u njihovom redu, što se određuje pojam s najvišim derivatima . Jednadžba sadrži samo prvih derivata je prvog reda diferencijalna jednadžba, jednadžba koja sadrži drugi derivat je drugog reda diferencijalne jednadžbe, i tako dalje. [11] [12]

Primjeri [ uredi ]

U prvoj skupini primjera, neka u biti nepoznata funkcija x, i c i ω su poznate konstante. Napomena obje redovne i parcijalne diferencijalne jednadžbe uglavnom su klasificirani kao linearnih i nelinearnih.

Nehomogeno prvog reda linearni konstantan koeficijent obična diferencijalna jednadžba:

 {\ displaystyle {\ frakcijama {du} {DX}} = Cu + x ^ {2}.} {\ Frakcijama {du} {DX}} = Cu + x ^ {2}.

Homogena drugog reda linearna obična diferencijalna jednadžba:

 {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} u} {dx ^ {2}}} - x. {\ frac {du} {dx}} + u = 0} {\ Frac {d ^ {2} u} {dx ^ {2}}} - x {\ frac {du} {dx}} + u = 0.

Homogena drugog reda linearni konstantan koeficijent obična diferencijalna jednadžba koja opisuje harmonički oscilator :

 {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} u} {dx ^ {2}}} + \ omega ^ {2} u = 0.} {\ Frac {d ^ {2} u} {dx ^ {2}}} + \ omega ^ {2} u = 0.

Nehomogeno prvog reda nelinearne obična diferencijalna jednadžba:

 {\ displaystyle {\ frac {du} {dx}} = u ^ {2} 4.} {\ Frac {du} {dx}} = u ^ {2} 4.

Drugog reda nelinearne (zbog sinus funkcije) obične diferencijalne jednadžbe koja opisuje gibanje od njihala duljine L:

 {\ displaystyle L {\ frac {d ^ {2} u} {dx ^ {2}}} + g \ grijeh u = 0.} L {\ frac {d ^ {2} u} {dx ^ {2}}} + g \ grijeh u = 0.

U sljedećem skupini primjera, nepoznatog funkcija u ovisi o dvije varijable x i t ili X i Y.

Homogena prvog reda linearna parcijalna diferencijalna jednadžba:

 {\ displaystyle {\ frac {\ parcijalni u} {\ djelomična t}} + t {\ frac {\ parcijalni u} {\ djelomična x}} = 0.} {\ Frac {\ parcijalni u} {\ djelomična t}} + t {\ frac {\ parcijalni u} {\ djelomična x}} = 0.

Homogena drugog reda linearni konstantan koeficijent parcijalne diferencijalne jednadžbe eliptiËne tipa, Laplaceova jednadžba :

 {\ displaystyle {\ frac {\ djelomična ^ {2} u} {\ djelomična x ^ {2}}} + {\ frac {\ djelomična ^ {2} u} {\ djelomična y ^ {2}}} = 0 .} {\ Frac {\ djelomična ^ {2} u} {\ djelomična x ^ {2}}} + {\ frac {\ djelomična ^ {2} u} {\ djelomična y ^ {2}}} = 0.

Treći reda nelinearnih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi, Korteweg-de Vries jednadžba :

 {\ displaystyle {\ frac {\ parcijalni u} {\ djelomična t}} = 6U {\ frac {\ parcijalni u} {\ djelomična x}} - {\ frac {\ djelomična ^ {3} u} {\ djelomična x ^ {3}}}.} {\ Frac {\ parcijalni u} {\ djelomična t}} = 6U {\ frac {\ parcijalni u} {\ djelomična x}} - {\ frac {\ djelomična ^ {3} u} {\ djelomična x ^ {3 }}}.

Postojanje rješenja [ uredi ]

Rješavanje diferencijalnih jednadžbi nije kao rješavanje algebarskih jednadžbi . Ne samo da su njihova rješenja često nejasna, ali da li su rješenja jedinstveni ili uopće postoje također značajne teme interesa.

Za prvog reda početnih problema vrijednosti, Peano postojanje teorem daje jedan skup okolnosti u kojima je rješenje postoji. S obzirom na bilo koju točku  {\ displaystyle (a, b)} (A, b) u xy-ravnini, definirati neke pravokutne regije  {\ displaystyle Z} Z , Tako da se  {\ displaystyle Z = [l, m] \ times [n, p]} Z = [l, m] \ times [n, p] i  {\ displaystyle (a, b)} (A, b) u unutrašnjosti  {\ displaystyle Z} Z , Ako smo dobili diferencijalne jednadžbe  {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x}} = g (x, y)} {\ Frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x}} = g (x, y) a uvjet da  {\ displaystyle y = b} y = b kada  {\ displaystyle x = a} x = a , Onda postoji lokalno rješenje za ovaj problem, ako  {\ displaystyle g (x, y)} g (x, y) i  {\ displaystyle {\ frac {\ djelomična g} {\ djelomična x}}} {\ Frac {\ djelomična g} {\ djelomična x}} oba su kontinuirano na  {\ displaystyle Z} Z , Ovo rješenje postoji na nekom intervalu s njenim središtem u  {\ displaystyle a}  , Rješenje ne mora biti jedinstveno. (Vidi Obične diferencijalne jednadžbe za druge rezultate.)

Međutim, to nam pomaže samo kod prvog reda problema početne vrijednosti. Pretpostavimo da smo imali linearni početna vrijednost problem NTH redom:

 {\ displaystyle F_ {n} (x) {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n} y} {\ mathrm {d} x ^ {n}}} + \ cdots + F_ {1} (x) { \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x}} + F_ {0} (x) y = g (x)} F_ {n} (x) {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n} y} {\ mathrm {d} x ^ {n}}} + \ cdots + F_ {1} (x) {\ frac { \ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x}} + F_ {0} (x) y = g (x)

tako da se

 {\ displaystyle y (x_ {0}) = y_ {0}, y '(x_ {0}) = y' _ {0}, y '' (x_ {0}) = y '' _ {0}, \ cdots} y (x_ {0}) = y_ {0}, y '(x_ {0}) = y' _ {0}, y '' (x_ {0}) = y '' _ {0}, \ cdots

Za svaki različit od nule  {\ displaystyle F_ {n} (x)} f _ {{n}} (x) ako  {\ displaystyle \ {F_ {0}, F_ {1}, \ cdots \}} \ {F_ {0}, F_ {1}, \ cdots \} i  {\ displaystyle g} g su stalno na nekom intervalu koji sadrži  {\ displaystyle x_ {0}} x_ {0} ,  {\ displaystyle y} y je jedinstven i ne postoji. [13]

Povezani koncepti [ uredi ]

Kašnjenje diferencijalna jednadžba (DDE) je jednadžba za funkciju jedne varijable, koje se obično naziva vrijeme, u kojem se iznose derivat funkcije na određeno vrijeme u smislu vrijednosti funkcije u ranijim vremenima.

Stohastički diferencijalna jednadžba (SDE) je jednadžba u kojoj je nepoznata količina je stohastički proces , a jednadžba uključuje neke poznate postupke stohastičkih, na primjer, Wiener proces u slučaju difuzijski jednadžbi.

Diferencijal algebarska jednadžba (DAE) je diferencijalna jednadžba koja sadrži diferencijalni i algebarske izraze, s obzirom na implicitan obliku.

Priključak na diferencijalne jednadžbe [ uredi ]

Vidi također: skala kamenac vrijeme

Teorija diferencijalne jednadžbe je usko povezana s teorijom diferencijalne jednadžbe , u kojem su koordinate samo pretpostaviti diskretne vrijednosti, a odnos uključuje vrijednosti nepoznate funkcije ili funkcije i vrijednosti u obližnjim koordinatama. Mnoge metode za izračunavanje numeričkih rješenja diferencijalne jednadžbe ili proučavati svojstva diferencijalnih jednadžbi uključuje približavanje rješenju diferencijalne jednadžbe po rješenju odgovarajuće diferencijalne jednadžbe.

Prijave [ uredi ]

Proučavanje diferencijalnih jednadžbi je široko polje u čiste i primjenjene matematike , fizike i inženjering . Sve ove discipline su zabrinuti sa svojstvima diferencijalne jednadžbe raznih vrsta. Čista matematika fokusira na postojanje i jedinstvenost rješenja, dok Primijenjena matematika naglašava rigorozne opravdanost metoda za približavanje rješenja. Diferencijalne jednadžbe igraju važnu ulogu u modeliranju gotovo svaki tjelesni, tehnički ili biološki proces, od nebeskog kretanja, premostiti dizajnu, kako bi interakcija između neurona. Diferencijalne jednadžbe poput onih koje se koriste za rješavanje problema u stvarnom životu ne mora nužno biti izravno rješivi, odnosno nemaju zatvorenom obliku rješenja. Umjesto toga, rješenja mogu se aproksimirati pomoću numeričkih metoda .

Mnogi temeljni zakoni fizike i kemije može se formulirati kao diferencijalne jednadžbe. U biologiji i ekonomiji , diferencijalne jednadžbe koriste se za modeliranje ponašanja složenih sustava. Matematički teorija diferencijalnih jednadžbi prvi razvio zajedno s prirodnim znanostima gdje je nastao jednadžbe i gdje su rezultati otkrili primjenu. Međutim, različitih problema, ponekad je podrijetlom iz sasvim različitih znanstvenih područja, može dovesti do identičnih diferencijalne jednadžbe. Kada se to dogodi, matematička teorija iza jednadžbe može se promatrati kao ujedinjujući princip iza raznih pojava. Kao primjer, razmislite širenje svjetla i zvuka u atmosferi, i valova na površini ribnjaka. Svi oni mogu se opisati na isti drugog reda parcijalne diferencijalne jednadžbe , u jednadžbu vala , što nam omogućava da razmišljaju o svjetlosti i zvuka, kao oblika valova, slično kao i poznati valovi u vodi. Provođenje topline, teorija koje je razvio Joseph Fourier , upravljaju drugi drugog reda parcijalne diferencijalne jednadžbe, jednadžbe topline . Ispostavilo se da su mnogi difuzija procesi, dok je naizgled različiti, opisani su u istoj jednadžbi; Black-Scholes jednadžba u financijama je, na primjer, u odnosu na jednadžbu topline.

Fizika [ uredi ]

Euler-Lagrange jednadžba u klasičnoj mehanici

Hamiltonove jednadžbe u klasične mehanike

Radioaktivni raspad u nuklearnoj fizici

Newtonov zakon hlađenja u termodinamici

Valna jednadžba

Jednadžba topline u termodinamici

Laplace je jednadžba koja definira harmonijskih funkcija

Poissonova jednadžba

Geodetsku jednadžba

Navier-Stokes jednadžbe u dinamika fluida

Jednadžba difuzije u stohastičkih procesa

Jednadžba konvekcija-difuzija u dinamiku fluida

U Cauchy-Riemann jednadžbe u kompleksne analize

Poisson-Boltzmann jednadžba u molekularne dinamike

U plitkim jednadžbe vode

Univerzalni diferencijalna jednadžba

U Lorenz jednadžbe čija rješenja pokazuju kaotičan tok.

Klasična mehanika [ uredi ]

Tako dugo dok je sila koja djeluje na česticu je poznato, Newtonov drugi zakon je dovoljno opisati gibanje čestica. Nakon nezavisne odnosa za svaku sili koja djeluje na česticu su dostupni, mogu se zamijeniti u Newtonovom drugom zakonu za dobivanje obične diferencijalne jednadžbe , koji se zove jednadžbu gibanja.

Elektrodinamika [ uredi ]

Maxwellove jednadžbe su skup parcijalnih diferencijalnih jednadžbi koje, zajedno sa silom Lorentzovu zakona, čine temelj klasične elektrodinamike , klasičnih optike i strujnih krugova . Ta polja pak temelj moderne električne i komunikacijske tehnologije. Maxwellove jednadžbe opisuju električno i magnetska polja generiraju i mijenjati jedni druge i troškove i struja . Oni su ime po škotskom fizičar i matematičar James Clerk Maxwell , koji je objavljen rani oblik tih jednadžbi između 1861. i 1862. godine.

Opća teorija relativnosti [ uredi ]

U polje jednadžbe Einstein (EFE, također poznat kao "Einsteinove jednadžbe") su skup od deset parcijalne diferencijalne jednadžbe u Albert Einstein 's opće teorije relativnosti koja opisuje temeljnu interakciju od gravitacije kao rezultat prostorvremena se zakrivljena po pitanju i energije . [14] Prvi put objavljeno Einstein u 1915. [15] kao jednadžba tensor je EFE izjednačiti lokalne prostorvrijeme zakrivljenost (izraženu Einstein tenzora ) s lokalnom energije i količine gibanja unutar tog prostorvremena (izraženo od stresa energije tenzora ). [16]

Kvantna mehanika [ uredi ]

U kvantnoj mehanici, analog Newtonov zakon je Schrödingera jednadžba (djelomična diferencijalna jednadžba) za kvantnog sustava (obično atoma, molekula i subatomskih čestica li slobodni, vezani ili lokalizirani). To nije jednostavna algebarska jednadžba, ali općenito je linearne parcijalne diferencijalne jednadžbe , koja opisuje vremensku evoluciju sustava valne funkcije (koji se nazivaju i "državna funkcija"). [17]

Biologija [ uredi ]

Verhulst jednadžba - biološki rast populacije

von Bertalanffy Model - biološka jedinka rast

Replikator dinamika - našao u teorijskom biologije

Hodgkin-Huxley Model - neuronske akcijske potencijale

Jednadžbe plijen-predator [ uredi ]

U Lotka-Volterra jednadžbe , također poznat kao jednadžbe grabežljivac-plijen, su par prvog reda, nelinearno , diferencijalne jednadžbe često koriste za opisivanje dinamike od bioloških sustava u kojoj dvije vrste interakcije, jedan kao grabežljivac i druge kao plijen.

Kemija [ uredi ]

Zakon stopu ili jednadžba stopa za kemijske reakcije je diferencijalna jednadžba koja povezuje brzinu reakcije s koncentracijama ili pritisaka reaktanata i stalne parametara (normalno koeficijenata stopa i parcijalnih reakcija naloga ). [18] Da bi odredili jednadžbu stopa za određeni sustav objedinjuje brzinu reakcije sa masene bilance za sustav. [19]

Ekonomija [ uredi ]

Ključ jednadžba Solow-Swan modela je  {\ displaystyle {\ frac {\ djelomična k (t)} {\ djelomična t}} = s [k (t)] ^ {\ alpha} - \ delta k (t)} {\ Frac {\ djelomična k (t)} {\ djelomična t}} = s [k (t)] ^ {\ alpha} - \ delta k (t)

Crno-Scholes PDE

Maltuzijanske model rasta

Model oglašavanja Vidale-Wolfe

Vidi također [ uredi ]

Kompleks diferencijalna jednadžba

Točan diferencijalna jednadžba

Početno stanje

integralne jednadžbe

Numeričke metode

Picard-Lindelöf teorem o postojanju i jedinstvenost rješenja

Ponavljanje odnos , također poznat kao 'diferencijalne jednadžbe'